Христианский форум

Не буду утверждать, будто разбираюсь, но из более-менее популярного изложения помню я не так. Утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, в каждой достаточно сложной системе уже есть, они её не дополняют. Их можно сделать доказуемыми (или опровержимыми), если перейти в другую систему с другими аксиомами, но в этой другой системе тоже будут свои недоказуемые теоремы. И раз они в ней есть, то они именно что есть, а отнюдь не дополняют её. И неполнота остаётся.

_________________
Промолчавший может сойти за умного, потому что никто толком не знает, на какую именно тему он молчит. (Сергей Мусаниф, «О людях и бегемотах».)

Не понял. Отчего неполнота остаётся? Чего не хватает?

_________________
"Вскую шаташася языцы, и людие поучишася тщетным?"

Не знаю. Не помню, смотрел ли я доказательство теоремы о неполноте; думаю, что не смотрел, потому что вряд ли смогу его понять. Но научно-популярные изложения этой теоремы читал. Поэтому не знаю, отчего неполнота остаётся: просто знаю, что любая достаточно сложная система неполна. И поэтому же не могу квалифицированно обсуждать эту тему. Могу только высказывать сомнения в том, например, что картина мира и арифметическая система аналогичны друг другу.

_________________
Промолчавший может сойти за умного, потому что никто толком не знает, на какую именно тему он молчит. (Сергей Мусаниф, «О людях и бегемотах».)

Арифметическая и вообще математическая система - лишь одна из проекций общей картины мира на весьма специфическую область сознания. Суть же не в этом. Просто на этих проекциях можно наглядно видеть и показывать общие в ней закономерности. Есть доказуемые утверждения. В принципе, их можно набрать достаточно для составления достаточно непротиворечивой картины. Которая, однако, будет не полна без утверждений недоказуемых, но принимаемых сугубо на веру. На которых, собственно, и выстраиваются любые доказательства. О чём теорема о неполноте. Вот, систему из недоказуемых и доказуемых утверждений уже можно назвать полной.

_________________
"Вскую шаташася языцы, и людие поучишася тщетным?"

Нет, теорема о неполноте только о том, что любая достаточно сложная система не будет полной, потому что в ней с необходимостью будут недоказуемые теоремы. Там нет ни слова о принятии на веру истинности или ложности таких недоказуемых теорем, и тем более о том, будто система станет полной, если что-то там принять на веру, потому что принятие на веру (то есть за аксиому) приведёт к тому, что это будет уже другая система, с другим набором аксиом. И так до бесконечности. Но в каждой новой системе всё равно будут недоказуемые утверждения. По крайней мере, я так понял. Я уже точно не помню, но таких теорем может оказаться даже бесконечное число.

Поэтому, на мой взгляд, правильно будет принять это к сведению и смириться с тем, что даже в математике, образце чёткости и строгости, всё равно нельзя составить исчерпывающий набор аксиом, чтобы на нём построить полную и непротиворечивую систему. А вне математики, в жизни — тем более (или тем менее). При том, я не отрицаю права других людей закрыть на это глаза и пытаться уверить себя, будто это, тем не менее, возможно. Или, скажем, в том, что принцип неопределённости не является фундаментальным, а просто результат нашего невежества.

_________________
Промолчавший может сойти за умного, потому что никто толком не знает, на какую именно тему он молчит. (Сергей Мусаниф, «О людях и бегемотах».)

Ну, нету ни слова. Так она и не про то. Она - про неполноту. Про недостижимость полноты средствами системы. То есть, ищущему полноты не следует ограничиваться средствами системы, но изыскивать иные средства, на наличие которых указывает само существование недоказуемых в системе теорем. То есть, утверждений, в истинность которых остаётся только поверить. Нет, ну можно, конечно, смириться и не искать полноты. Для этого придётся отморозиться и блокировать часть своей сознательной деятельности. Тоже, однако, существующей не просто так. Отчего пренебрежение ей бывает вредно и чревато.

_________________
"Вскую шаташася языцы, и людие поучишася тщетным?"

У меня как-то совсем другие представления о системах: дана система, и работать нужно в её пределах. Потому что как только перестаёшь ограничиваться средствами данной системы, то ты работаешь уже в другой системе, и это уже совсем другая задача. А в первой системе недоказуемые теоремы остаются. Да и в новой системе будут свои недоказуемые теоремы.

А поскольку эти утверждения недоказуемые, то с тем же успехом можно верить (столь же необосновано) и в их ложность. Это ни о чём.

Да нет, блокирование как раз нужно, чтобы искать полноту, если доказано, что её нет. И да, это может быть вредно, о чём я и говорил уже.

_________________
Промолчавший может сойти за умного, потому что никто толком не знает, на какую именно тему он молчит. (Сергей Мусаниф, «О людях и бегемотах».)

Полноты нет, если не выходить за рамки системы. К примеру, если не выходить за рамки Солнечной системы, то нельзя видеть, что это Земля вращается вокруг Солнца, а не наоборот. А если выйти за рамки системы, то возможно достроить систему до полной Ну, а истинность аксиоматики поверяется работоспособностью теории, на её основе созданной.

_________________
"Вскую шаташася языцы, и людие поучишася тщетным?"

Видеть нельзя, но ведь Коперник высчитал это, даже не покидая Земли. Это не о том пример.

Здесь не знаю, возможно, и возможно. Только новая система опять будет неполной.

Это так и есть. Но речь не совсем об этом ведь, а о том, что в арифметической системе достаточной сложности всегда будут теоремы (а не теории), об истинности или ложности которых невозможно судить обоснованно. По крайней мере, я так понимаю. И сознаю, что понимаю очень упрощённо, возможно, с недопустимыми искажениями.

_________________
Промолчавший может сойти за умного, потому что никто толком не знает, на какую именно тему он молчит. (Сергей Мусаниф, «О людях и бегемотах».)

Ну разумеется, за рамки системы необходимо выходить разумом, а не телом. То есть, вынести систему отсчёта из системы. Внутри же системы вполне правомерно, связав систему отсчёта с Землёй, считать, что Солнце движется вокруг Земли. Что, собственно, и наблюдает стоящий на Земле человек. В новой же гипер-системе, в которую выйдет разумом пытливый исследователь, совсем не обязан оставаться в силе закон неполноты. По крайней мере, для рассуждения о нём изнутри суб-системы не может быть достаточных оснований, что лишает их смысла и актуальности. Тут же мы (во всяком случае - я) говорим о том, что для осознания картины мира во всей полноте необходимо выйти за пределы мира. Частичным выражением чего служит и теорема о неполноте логических, на самом деле, систем. Хоть и представляемых средствами арифметики.

_________________
"Вскую шаташася языцы, и людие поучишася тщетным?"

Ну вот я считаю, что это совершенно разные вещи, и сравнивать их нет оснований. Если речь идёт о неполноте арифметических, то неполнота будет в любой системе достаточной сложности, и каждая новая система будет не менее сложная, чем предыдущая, и при том достаточно определённая. А если речь об астрономии, то здесь перехода в систему вне мира быть не может, потому что эта новая система никак не определена. Против этого я и возражаю: против обсуждения того, о чём ничего не известно в принципе.

_________________
Промолчавший может сойти за умного, потому что никто толком не знает, на какую именно тему он молчит. (Сергей Мусаниф, «О людях и бегемотах».)

Теорема Гёделя не про арифметику же и не про астрономию. А про логику, средствами которой человек познаёт мир. Не суть, наблюдая ли его в телескоп или описывая языком математики. О том, что средств логики недостаточно для полного описания мира, но зато достаточно для того, чтобы доказать их недостаточность.

_________________
"Вскую шаташася языцы, и людие поучишася тщетным?"

Да, хорошая формулировка.

_________________
Промолчавший может сойти за умного, потому что никто толком не знает, на какую именно тему он молчит. (Сергей Мусаниф, «О людях и бегемотах».)